Урок  88

Тема: Контрольна робота

Контрольна робота з теми «Тіла обертання»

Варіант 1

1. (0,5 бала). Серед наведених виберіть неправильне твердження.

1. (0,5 бала). Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є …

1. (0,5 бала). Якщо АВ – твірна циліндра, а ОВ – радіус основи, то вони …

1. (0,5 бала). Куля – це тіло, утворене в результаті обертання …

1. (За кожну відповідність 0,5 бала). Установіть відповідність між елементами циліндра (1-4) та їхніми назвами (А-Д).

1. (1 бал). Радіус основи циліндра дорівнює 6 см, а діагональ осьового перерізу – 13 см. Знайдіть висоту циліндра.
2. (2 бали). Радіус кулі дорівнює 13 см. Знайдіть площу перерізу кулі площиною, віддаленою від центра кулі на 12 см.
3. (2 бали). У циліндрі паралельно його осі на відстані 6 см від неї проведено переріз, площа якого 160 см². Обчисліть радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює 10 см.
4. (3 бали). Через вершину конуса з основою радіуса R проведено площину, що перетинає його по хорді, яку видно з центра основи під кутом , а з вершини – під кутом . Визначте площу перерізу.

Урок 89

Тема: Випадкова подія. Відносна частота події.

Тема: Випадкова подія. Відносна частота події. Імовірність події

Сьогодні на уроці ми будемо говорити про ймовірність. Ймовірність відноситься до понять, якими ми часто користуємось в повсякденному житті, зовсім не задумуючись про це. Наприклад, навіть наша мова носить стихійно-ймовірнісний підхід до оточуючої нас дійсності:

• Ми підемо завтра у кіно?
• Ймовірно… (або малоймовірно)
• Ти чув, що двієчник склав іспит з математики на 12 балів?
• Неймовірно!!!

Вже в цих коротких репліках «ймовірно, малоймовірно, неймовірно» є спроба оцінити можливість появи тієї чи іншої події. Суспільство все глибше починає вивчати себе и прагне зробити прогнози саме про себе і про явища природи, які потребують уявлень про ймовірність. Навіть прогнози погоди повідомляють про те, що завтра ймовірність опадів збільшиться, залишаючи багатьох в повній розгубленості: брати парасольку чи ні?

Ідея виражати числами степінь можливості появи тих чи інших подій виникла після того, як люди спостерігали багато прикладів, в яких проявлялась цікава здатність явищ повторюватися доволі часто.

Задачі, які ми сьогодні будемо розв’язувати, допоможуть вам творити, думати незвичайно, оригінально, бачити те, повз чого ви часто проходили не помічаючи, долати труднощі. І, нарешті, ми в черговий раз переконаємося, що наш світ сповнений математикою і продовжимо дослідження на предмет виявлення теорії ймовірності навколо нас.

Отже темою нашого уроку є «Випадкова подія. Відносна частота події»

Наш сьогоднішній урок пройде у формі Усного журналу, зі сторінок якого ви дізнаєтесь багато нового і цікавого, а також покажете, чому ви навчились.

Початок теорії ймовірностей як науки приписують середині XVII століття. З історичних романів пам’ятаємо: це час королів і мушкетерів, прекрасних дам і шляхетних кавалерів. Як це не парадоксально, з ім’ям одного з них, причому реальної історичної особистості, пов’язаний початок теорії ймовірності.

Засновником теорії ймовірності вважають великого вченого, математика, фізика і філософа Блеза Паскаля (1623-1662). Але вважається, що вперше він зайнявся теорією ймовірностей під впливом питань, що поставив перед ним один з придворних французького двору шевальє де Мере (1607-1648). Неперевершений кавалер, розумний і освічений чоловік, де Мере захоплювався філософією, мистецтвом і був азартним гравцем! Але гра, виявляється теж була для нього приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонував Паскалю два відомих питання, перше з яких він намагався  розв’язати сам. Питання були такі:

1. Скільки разів слід кидати два гральних кубика, щоб випадків випадання одразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидань?
2. Як справедливо розділити поставлені на кін двома гравцями гроші, якщо вони з деяких причин закінчили гру передчасно?

Ці питання обговорювались у листах двох великих вчених Блеза Паскаля і П’єра Ферма і стали приводом для початкового введення такого важливого поняття, як математичне сподівання, і спроб формулювання основних теорем додавання і добутку ймовірностей.

В теорії ймовірностей під подією розуміють те, відносно чого після деякого моменту часу можна сказати одне і тільки одне з двох:

• Так, вона відбулася
• Ні, вона не відбулася

Тобто подія – це результат випробування.

В житті ми постійно зіштовхуємося з тим, що деяка подія може відбутися, а може і не відбутися. Таку подію в теорії ймовірності називають випадковою.

Наприклад: В коробці є 5 білих і 5 чорних кульок. Не зазираючи в коробку, навмання дістаємо з неї одну кульку. Яка з подій може відбутися:

А: «взяли білу кульку»

В: «взяли жовту кульку»

С: «взяли чорну кульку»

D: «взяли кульку»

Події А та С є випадковими подіями, оскільки взята кулька може бути як білою так і чорною.

З коробки можна взяти тільки те, що в ній є, тому вийняти з коробки жовту кульку неможливо, отже подія В «взяли жовту кульку» за даних умов неможлива (подія, яка не відбудеться за жодних умов).

Оскільки в коробці є лише кульки, то будь-який предмет, вийнятий з коробки, є кулькою. Отже за даних умов подія D «взяли кульку» відбудеться обов’язково. Кажуть, що ця подія є достовірною або вірогідною (події, які обов’язково відбудуться за певних умов)

Оскільки білих і чорних кульок в коробці порівну, то випадкові події А і С є рівноймовірними (події, коли в їх появі немає переваг).

Відповідно, не рівноймовірні події ті, у яких в настанні однієї з подій є якась перевага.

У мене в руках є монета «удачі», у якої з обох сторін зображена решка і з’явитися герб, при підкиданні монети, ніяк не може. Таким чином, фокусники і шахраї обманювали в 17 столітті простих місцевих жителів.

Далі ми будемо працювали лише з рівноймовірними подіями.

Існують ще два види подій: сумісні і несумісні.

Якщо підкинути одночасно монету і гральний кубик, то випадіння герба на монеті і 4 очок на кубику не заважають один одному – вони сумісні (події, які можуть відбуватися одночасно).

Відповідно несумісні події – події, які не можуть відбуватися одночасно. Наприклад, якщо підкидати монету – поява герба, виключає появу решки і навпаки.

Класичне означення ймовірності має обмежену область застосувань, оскільки далеко не завжди у реальних ситуаціях можна виділити скінченну кількість рівноможливих наслідків.

Висновок: При більшій кількості підкидань приблизно для половини випадків випадає «герб». При малому числі дослідів частота появи «герба» носить випадковий характер, однак при достатньо великій їх кількості вона стабілізується, наближаючись до ймовірності події.

Цю величину P* називають відносною частотою випадкової події (відношення кількості дослідів, у яких відбулася деяка подія, до загальної кількості дослідів, проведених у тих самих умовах)

Ймовірністю події А при проведенні деякого випробування називають відношення числа результатів, які сприяють події А, до загальної кількості всіх (рівноймовірних між собою) результатів цього випробування.

Запишемо формулу

n – число всіх можливих результатів даного випробування

m – кількість сприятливих результатів події А.

Задача 1. Василь, Петро, Микола і Олексій кинули жереб – кому починати гру. Знайдіть ймовірність того, що гру буде починати Петро.

Розв’язання:

Випадковий експеримент – кидання жеребу.

Елементарна подія – учасник, який виграв жереб.

Число елементарних подій n = 4.

Подія А = {жереб виграв Петро}, m = 1.

Відповідь: 0,25.

Властивості ймовірності:

Задача 2. В змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 4 спортсмени з Фінляндії, 7 спортсменів з Данії, 9 спортсменів зі Швеції і 5 – з Норвегії. Порядок, в якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім – зі Швеції.

Розв’язання: Всього спортсменів: n = 4 + 7 + 9 + 5 = 25, n = 25

А = {останній зі Швеції} m = 9

Відповідь: 0,36.

Задача ЗНО

Задача 3: У коробці лежать різнокольорові кульки, з яких 40 – червоні, 20 – коричневі, а всі, що залишились – жовті. З’ясуйте, скільки жовтих кульок лежить у коробці, якщо ймовірність вибору випадковим чином жовтої кульки дорівнює .

Розв’язання:

Нехай жовтих кульок – х штук, m = x

Тоді в  коробці лежить 40 + 20 + х = 60 + х штук кульок

n = 60 + x.

З умови відомо, що

Складемо рівняння:

4x = 3(60 + x); 4x = 180 + 3x; x = 180

Тобто жовтих кульок – 180 штук.

Відповідь: Д

1. У коробці лежать 42 олівці, з них 14 олівців – червоні, 16 олівців – сині, а решта – зелені. Яка ймовірність того, що навмання взятий олівець не буде ні червоним, ні синім? ()
2. У коробці лежать зелені та блакитні кулі. Скільки у коробці блакитних куль, якщо зелених у ній 18, а ймовірність того, що обрана навмання куля виявиться блакитною, дорівнює ? (, звідси блакитних куль було 12)

Пригадайте казку.

• Які камінці були в посудині?
• Яка подія діставання з неї білого камінця? (неможлива)
• Яка подія діставання з неї червоного камінця? (вірогідна)
• Отже, який вихід знайшов царевич? (дістав камінь і викинув, а в посудині залишився червоний – тобто викинутий був білий камінь)
• Якби все було чесно, то чому б дорівнювала ймовірність дістати білий камінець?
• Де, на вашу думку, в житті можна застосовувати знання з цієї теми? (кожний з нас кожний день вимушений приймати велику кількість рішень в умовах невизначеності. Проте цю «невизначеність» можна перетворити в деяку визначеність. І тоді це знання може оказати суттєву допомогу при прийнятті рішень. При участі в лотереях і розіграшах. Але слід пам’ятати, що в житті є ще везіння і удача!)
• Як ви вважаєте, чи велика ймовірність виграти в азартні ігри? (показ відео про казино)

.Домашнє завдання

Задача. У класі навчається 28 учнів. Ймовірність того, що навмання вказаний учень виявиться дівчинкою, дорівнює . Скільки у класі дівчат і скільки хлопців?