Основи статистики. Урок 19

Тема: Лабораторно-практична робота №8. Розв’язання задач з структурними середніми.

Мета: Роз’яснити учням формули та їх використання при розв’язування задач з структурними середніми, розвивати увагу, пам’ять, та любов учнів до предмету

Обладнання: підручник, роздатковий матеріал

Тип уроку: комбінований

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент: привітання, перевірка присутніх .

ІІ. Відновлення в пам’яті учнів раніше одержаних знань.

–          що таке середня величина;

–          формули обчислення середньої арифметичної простої та зваженої в статистиці;

ІІІ. Повідомлення теми і мети уроку.

IV.Вивчення нового матеріалу:

Медіана
Медіана (Ме) - величина варіює ознаки, що ділить сукупність на дві рівні частини – зі значеннями ознаки менше медіани і зі значеннями ознаки більше медіани.
У ранжированном варіаційному ряду з непарним числом одиниць сукупності медіаною є значення ознаки у середньої в ряду одиниці. Медіана не залежить від значень ознаки, що стоять на краях варіаційного ряду.
В інтервальному варіаційному ряду для знаходження медіани застосовується формула: ,
де X _Me – Нижня межа інтервалу, в якому знаходиться медіана;
f _Me – Число спостережень (або обсяг вісового ознаки), накопичене до початку медіанного інтервалу;
f _Me – число спостережень або обсяг вісового ознаки в медіанній інтервалі (у абсолютному або відносному виразі);
i – величина медіанного інтервалу;
– Половина від загального числа спостережень або половина обсягу того показника, який використовується в якості вісового у формулах розрахунку середньої величини (у абсолютному або відносному вираженні).
Прикладом такого ряду може служити місячна заробітна плата робітників цеху.
Таблиця 1

У цьому ряду середнє місце за розміром заробітної плати займає робітник з номером 4, який отримав 160 грн. Ця величина і є медіана. Менше і більше медіани однакове число варіантів. При непарному числі варіантів (п) порядковий номер, якому відповідає медіана, визначається за формулою .
Коли кількість варіантів у ряді парне число, медіаною вважають один з тих варіантів, який за своєю величиною міг би знаходитися посередині між варіантами з номером і . Так, якби в цеху був ще й восьмий робітник із заробітною платою в 276 руб., То медіана перебувала б посередині між четвертим і п’ятим порядковими номерами. У таких випадках прийнято вважати, що в проміжку між номерами і йде рівномірний наростання чи спадання варіантів. Тому за медіану беруть середню арифметичну з варіантів з номерами і . У даному прикладі

Сенс отриманого результату такий: одна половина робітників отримала за місяць менше, а інша – більше 167,5 руб.
Отже, медіана – узагальнюючий показник розподілу сукупності, рівень ознаки, яка ділить сукупність на дві рівні частини, і являє зазвичай інтерес в аналізі, як це видно з наведеного прикладу.
Медіана, на відміну від середньої, не є абстрактною величиною. Вона знаходиться точно в середині ряду, являє собою реальне значення ознаки, відповідає певному варіанту і при цьому найбільш точна у випадку непарного числа членів сукупності. Медіана як узагальнююча характеристика сукупності не може, однак, замінити середню. Медіана – це центр розподілу чисельності одиниць сукупності, а середня – центр розподілу відхилень значень ознаки від рівнодіючої. Величина медіани визначається лише одним або двома серединним значеннями ознаки. Зміни усіх інших величин, якщо вони не змінюють послідовності членів в центрі ряду, не знаходять відображення в медіані. Так, якщо місячну заробітну плату найменш оплачуваних двох робочих підняти на 40 руб., Це не позначиться на медіані, незважаючи на те, що тим самим значно підвищуються доходи двох робітників цеху і істотно вирівнюється заробітна плата членів колективу. Тому медіана, що представляє певний інтерес в аналізі, не може замінити середню, яка при заміні реального колективу абстрактним колективом з рівняння значення ознаки залишає незмінним визначальний показник сукупності.
Медіаною доцільно користуватися, коли не відомі кордону відкритих крайніх інтервалів варіаційного ряду, на які припадає значна частина одиниць усієї сукупності, так як середня в цих випадках страждає значною неточністю. При обчисленні ж медіани відсутність відомостей про цих межах не впливає на точність розрахунку.
2.2.2 Мода
Мода (Мо) – це варіант ознаки, який при цьому поєднанні причин різного порядку найчастіше зустрічається у варіаційному ряду. Наприклад, ціна, за якою найчастіше реалізується товар на ринку, є модою або модальної ціною. Місячна заробітна плата, яка найчастіше зустрічається у даному колективі, є для нього модальної заробітною платою.
Мода – типова величина, в тому сенсі, що вона зустрічається в сукупності чи об’єктивно може зустрітися частіше за інших. Вона має важливе значення для вирішення деяких завдань, наприклад якої висоти повинні бути призначені для масового споживання верстати, столи і т. п., яка кількість дітей найчастіше зустрічається в сім’ї, який час дня є «піковим» для роботи підприємств громадського харчування, електростанцій , міського транспорту та ін, який рівень виконання плану найбільш часто зустрічається в тому чи іншому колективі робітників або підприємств і т. п.
Мода відповідає певному значенню ознаки. На практиці моду знаходять, як правило, по згрупованим даними.
У дискретному ряду мода визначається без обчислення як значення ознаки з найбільшою частотою.
В інтервальному варіаційному ряду, тим більше при безперервної варіації ознаки, строго кажучи, кожне значення ознаки зустрічається тільки один раз. Модальним інтервалом є інтервал з найбільшою частотою. Усередині цього інтервалу знаходять умовне значення ознаки, поблизу якого щільність розподілу, тобто число одиниць сукупності, що припадає на одиницю виміру варьирующего ознаки, досягає максимуму. Це умовне значення і вважається точкової модою. Логічно припустити, що така точкова мода розташовується ближче до тієї з меж інтервалу, за якою частота в сусідньому інтервалі більше частоти в інтервалі за одною кордоном модального інтервалу. Звідси маємо зазвичай застосовується формулу:

X _Mo - нижнє значення ознаки X в модальному інтервалі;
i - величина інтервалу;
f _Mo - частота (частість) повторення ознаки X в модальному інтервалі;
f _{Mo -1, f Mo +1} - відповідно частоти (частості) ознаки для інтервалу, що передує модальному і наступного за ним.

Приклад: Таблиця 2.2.2

За табл.2.2.2. модальний інтервал становить 2000 – 2499шт, так як йому відповідає найбільша частота 37,5%, нижня його межа х _о = 2000, а величина інтервалу h = 500. Отже,

Це значить, що найчастіше зустрічаються господарства, у яких надій в середньому від однієї корови становить 2280 кг .
Для вирішення практичних завдань найбільший інтерес представляє зазвичай мода, виражена у вигляді інтервалу, а не дискретним числом. Пояснюється це призначенням моди, яка повинна виявити найбільш поширені розміри явища. Виражена у вигляді дискретного числа мода часто не відповідає цій вимозі. Так, у нашому прикладі відсоток господарств, у яких річний надій в середньому на одну корову становить 2280 кг , Хоча і більше, ніж господарств з будь-яким іншим рівнем надою, але сам по собі він може бути невеликим. Господарств ж з удойності в межах інтервалу 2000 – 2499 кг – 37,5%, а 2000 – 3000 кг – 58,1, – тобто досить значний відсоток.