Основи статистики. Урок 16

Тема: Середня проста, середня зважена. Середня гармонічна проста, середня гармонічна зважена. Середня хронологічна. Структурні середні.

Мета: Роз’яснити учням види середніх величин, їх значення в статистиці, розвивати увагу, пам’ять, та любов учнів до предмету

Обладнання: підручник

Тип уроку: комбінований

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент: привітання, перевірка присутніх .

ІІ. Відновлення в пам’яті учнів раніше одержаних знань.

–          що таке середня величина;

–          формули обчислення середньої  величини в статистиці;

ІІІ. Повідомлення теми і мети уроку.

IV.Вивчення нового матеріалу:

Поняття середніх величини та способи обчислення

Середньою величиною називають узагальнюючу характеристику сукупності однотипних явищ за варійованою ознакою. При розрахунку середньої величини /за даними однорідної сукупності/ погашаються випадковівідхилення окремих величин явища. Розрахунок середньої величини для неоднорідної сукупності не має реального змісту, оскільки тут будуть згладжуватись окрім випадкових відхилень також істоту! різниці між окремими одиницями сукупності. Отже, середня величина значною мірою

залежить від побудови сукупності, її структури. Обчислення середніх величин є складовою частиною багатьох статистичних методів: групувань, рядів динаміки, індексних розрахунків, показників

варіації, вибіркового методу та ін. Для виявлення взаємозв'язків і взаємозалежностей між ознаками у

статистичних групуваннях виділяють групи за чинниковою ознакою, де по кожній групі обчислюють середню арифметичну результативної ознаки. Зміна цих середніх величин від групи до групи показує характер і напрями зв'язку між ознаками. Порівняння середніх величин у динаміці дає змогу виявити основні тенденції та закономірності у розвитку явищ, їх інтенсивності та сезонності коливання.

Середні величини є основою для розрахунку граничних помилок данихвибіркового обстеження сукупності. Це база для кореляційного,регресійного і дисперсійного аналізу.Основні завдання розрахунку середніх величин - це характеристика зміниявищ у динаміці; тенденції у розвитку явищ, співвідношення двох або

кількох рівнів, зв'язків і залежностей між явищами, виявлення нового,прогресивного та найбільш поширеного розвитку явища.Вибір формули розрахунку середньої величини /табл. 10/ повинен

враховувати такі аспекти:1/ характерну особливість суспільного явища, яке вивчається;

2/ мету розрахунку середньої величини;З/ визначаючий показник і його математичне вираження, яке є основою дляосереднення сукупності явища.Критерієм розрахунку середньої величини є правильний вибір початковоїбази обчислень, яка відображає зміст середньої величини та її зв'язок зіншими показниками.

Розрахунок середньої величини повинен бути підпорядкований економічномузмісту явищ, тобто треба, щоб він рваль-нр відображав істотну /дійсну/характеристику осереджува-ного їх рівня.Проста середня - це початковий момент для розрахунку будь-якої середньоївеличини, яку розраховують за формулою

Для розрахунку середньої кількості дітей у сім'ї підсумуємо кількістьдітей у кожній сім'ї і поділимо на кількість сімей:де: х- окремі варіанти осередненої величини; п - кількість варіантів.Від розрахунку простої середньої арифметичної до зваженої переходятьшляхом об'єднання в групи однакових значень. Як ваги використовуютьання в групи однакових значень. Як ваги використовуютьчисла /частоти/ або питомі ваги /частості/, якТ^враховують значеннявеличини ознаки ./варіанта/ окремої одиниці сукупності.

Якщо треба визначити середньомісячний виробіток усіх робітників принаявності даних про місячний виробіток і кількість робітників в окремихгрупах, то середньомісячний виробіток обчислюють за формулою середньоїарифметичної зваженої:Добуток xf у цьому прикладі є економічно усвідомленим результатом -

кількість виробленої продукції за місяць.При наявності у вихідних для розрахунків середньої величини даних частотрозрахунок також здійснюють а урахуванням економічного змісту озрахункових величин /табл.12/.Визначимо середній процент бракованих виробів, якщо відомі кількістьвиготовлених виробів і питома вага бракованих виробів, за формулоюсередньої арифметичної зваженої:Добуток xf у чисельнику формули у цьому прикладі являє собою економічноусвідомлений результат - кількість бракованих виробів.

Розглянемо приклад розрахунку середньої арифметичної зваженої вінтервальному ряді на основі таких вихідних даних:Для розрахунку середнього виробітку необхідно визначити середину кожного

інтервалу шляхом додавання значення нижньої і верхньої інтервальних меж з подальшим діленням на два. Середину інтервалу першої групи /до 200гривень/ обчислюють таким чином: за нижню межу інтервалу тут приймають100 гривень, віднімаючи від його верхньої межі розмір наступногоінтервалу, який дорівнює 100 /300 - 200/, відповідно одержують 200 - 100= 100 гривень.Середину інтервалу останньої групи /600 гривень і більше/ обчислюютьаналогічно. Різниця полягає в тому, що до нижньої межі інтервалу /600

гривень/ додають розмір інтервалу попереднього /600 + 100 гривень = 700гривень/. Виконавши ці розрахунки, середнє значення інтервалів і в першій, і в останній групі визначають діленням суми значень нижньої іверхньої меж інтервалу Звідси Якщо статистичні ваги /частоти і частості/ у вихідних даних для

розрахунку середньої величини не задані безпосередньо, а входять як співмножники в один з наявних показників, то дляобчислень використовують формулу середньої гармонічноїДля розрахунку середньої величини за формулою гармонічної зваженоїнеобхідно виходити з логічного усвідомлення вихідних розрахунковихвеличин. Середню гармонічну застосовують у тих випадках, коли v вихідних даних є

не прямі розрахункові величини, а лише одна їх складова частина.Наприклад, кількість проданої проДУ^пД - це складова частина виручки відїї реалізації. Тут діяа є розрахунковою величиною - часткою від виручки

Види середніх величин та техніка їх обчислення

У практиці проведення статистичних досліджень застосовуються різні види середніх величин. Це обумовлено перш за все наявністю вихідних даних і метою дослідження. За технікою обчислення усі середні величини можуть бути прості (незважені) та зважені, за класом всі вони відносяться до степенної середньої. Загальна формула середньої степенної має такий вигляд (перша формула – проста; друга – зважена):

; або ,

де – степенна середня величина; x – варіанти (значення ознаки одиниць сукупності); n – загальна кількість одиниць сукупності; f – вага, частота, яка показує скільки разів зустрічається те чи інше значення ознаки; m – показник ступеню середньої; У – знак суми.

За назвами в статистиці використовуються середня арифметична, середня хронологічна, середня геометрична, середня квадратична величини, середня гармонічна. Зміна значення показника степенної середньої величини (m) визначає вид середньої величини: якщо m = 1, то ми одержуємо середню арифметичну величину; якщо m = 2, то одержуємо середню квадратичну; якщо m = 3, то – середню кубічну; якщо m = – 1,- маємо середню гармонічну; якщо m = 0, то середню геометричну. З степенних середніх в правовій статистиці найчастіше використовують середню арифметичну, значно рідше – середню гармонічну; середня геометрична застосовується лише при обчисленні середніх темпів динаміки, а середня квадратична – при обчисленні показників варіації.

Розмір обчисленої середньої величини завжди відрізняється, оскільки обумовлюється показником степеню середньої величини. В загальному вигляді це правило має назву мажорантності середніх: чим більше показник ступеня, тим більше величина середньої. При цьому слід мати на увазі, що правильну характеристику різних сукупностей в кожному окремому випадку визначає лише певний вид середньої величини. Основний критерій визначення виду середньої величини – це механізм утворення обсягу ознаки, яка варіює. Середня тільки тоді буде вірно відображати усю сукупність, коли при заміні усіх ознак (варіантів) середньою загальний обсяг варіюючої ознаки залишиться незмінним.

Залежно від того, як формується загальний обсяг сукупності, і визначається вид середньої величини. Середня арифметична застосовується тоді, коли обсяг варіючої ознаки утворюється як сума окремих варіантів, середня квадратична – коли обсяг варіючої ознаки має вигляд суми квадратів окремих варіантів, середня гармонічна – коли обсяг варіючої ознаки складається із суми обернених значень окремих варіантів, середня геометрична – коли обсяг варіючої ознаки одержується як добуток окремих варіантів.

У правовій статистиці середні арифметичні величини застосовуються тоді, коли первинні (вихідні) дані наведені у такому вигляді, що загальний обсяг ознаки для усієї сукупності можна одержати шляхом підсумовування їх у всіх одиницях.

Середня арифметична проста (незважена) обчислюється шляхом ділення суми індивідуальних значень ознаки на їх загальну кількість. Спочатку підсумовують значення усіх варіантів, а потім ця сума ділиться на загальну кількість одиниць сукупності. Наприклад, один слідчий районної прокуратури закінчив за місяць 2 справи, інший – три. В результаті у середньому вони закінчили розгляд 2,5 справи ((2+3) : 2). При цьому не можна відкинути 0,5 справи і округлити цифру, тому що в такому разі результат буде помилковий.

Середня арифметична проста використовується дуже рідко, як правило, лише тоді, коли сукупність повністю симетрична (нормальний закон розподілу одиниць) або має невелику кількість одиниць (як в нашому прикладі).

У загальному вигляді середня арифметична проста обчислюється за формулою:

де: – середня арифметична величина; x – значення ознаки одиниць сукупності; n – кількість варіантів, з яких обчислюється середня (обсяг статистичної сукупності); У – знак суми.

У правовій статистиці застосовуються середня арифметична зважена, яка обчислюється за формулою:

де ѓ1, ѓ2 , … , ѓn – повторення (частота, вага) кожного варіанта; x1, x2, …, xn – значення ознаки одиниць сукупності; У – знак суми.

Середня арифметична зважена завжди обчислюється тоді, коли окремі значення варіантів у сукупності повторюються кілька разів або коли ряд розподілу значення ознаки несиметричний. При обчисленні середньої арифметичної зваженої за наведеною формулою значення кожного варіанта (ознаки кожної одиниці сукупності) слід помножити на відповідну йому вагу (частоту або повторюваність кожного варіанта) і суму цих добутків поділити на суму частот (загальну кількість одиниць сукупності). При цьому перемноження значень ознак сукупності на кількість їх повторювання в сукупності (тобто варіантів на ваги) називається зважуванням, а одержана середня величина - зваженою.

Використання середньої арифметичної зваженої дає змогу замінити багаторазове підсумовування однакових варіантів, як це має місце при обчисленні середньої арифметичної простої.

Отже, за наявності значної кількості первинних даних можна обчислювати середню величину двома способами:

1) шляхом підсумовування значень ознаки у кожної окремої одиниці сукупності - за формулою арифметичної простої;

2) на підставі заздалегідь впорядкованих даних у вигляді варіаційного ряду розподілу - за формулою арифметичної зваженої. При цьому спочатку обов`язково будується варіаційний ряд розподілу, для того щоб бути впевненими, що обчислюється середня для якісно однорідної сукупності.

Обчислимо середню арифметичну зважену за даними табл. 1 (первинні дані наведені у вигляді дискретного ряду розподілу).

Таблиця 1.Кількість розглянутих кримінальних справ в місцевому суді

Кількість засуджених по справі, х	Кількість розглянутих справ, ѓ	Добуток, хѓ
1	20	20
2	14	28
3	12	36
4	10	40
5	4	20
Всього	60	144

За допомогою наведеної вище формули одержимо середню кількість засуджених по кримінальній справі: 2, 4 людини (144 : 60).

Середня величина завжди має числове вираження в тих самих одиницях виміру, що й первинні дані. При цьому її розмір обов`язково знаходиться в межах від мінімального до максимального значення ознаки і вона не може бути меншою за мінімальне і більшою за максимальне значення ознаки. Якщо ж з якоїсь причини одержали середню величину, яка істотно відрізняється від варіантів, то слід обчислити її заново.

Округлювати одержані дані можна лише таким чином, щоб не втратити реального змісту показника. Якщо в даному прикладі ми відкинемо десяту частину дробу, то істотно зменшимо результат. Якщо 2 особи помножити на 60 кримінальних справ, одержимо 120 осіб, а в дійсності за цими розглянутими кримінальними справами було засуджено 144 особи, тобто маємо зменшення на 24 особи.

Частіше доводиться обчислювати середні арифметичні зважені з даних, наведених в статистичній звітності у вигляді інтервальних варіаційних рядів розподілу, коли значення варіантів наведено не числом, а в межах інтервалу: від до Наприклад, маємо такі дані про вік засуджених ( табл. 2).

Таблиця 2.Кількість засуджених за віком за злочини проти власності

Вік особи, рік	Кількість засуджених, ѓ	Середина інтервалу, рік, х	Добуток, хѓ
До 18	24	15,5	372
18 – 24	48	21	1008
25 – 29	30	27	810
30 – 49	22	39,5	869
50 і старше	6	59,5	357
Всього	130	_	3416

Щоб обчислити середній вік усіх 130 осіб, засуджених за злочини проти власності, спочатку необхідно визначити середній вік кожної групи, тому що вік в документах первинного обліку (статистична картка на підсудного) наводиться у вигляді інтервалів. Середній вік для кожної групи умовно приймають, як середину кожного інтервалу. Вона обчислюється як середня арифметична проста умовно, оскільки не завжди однаково зустрічаються в межах групи особи з різним віком. Нижня межа інтервалу першої групи визначається згідно з кримінальним кодексом. Відповідальність за вчинення цих видів злочинів настає з 14 років, таким чином середина першої вікової групи буде дорівнювати 15,5 рокам ((14 + 17) : 2). Аналогічно обчислюється середина усіх інших інтервалів, крім останнього, оскільки в ньому відсутня верхня межа інтервалу. Останній інтервал повністю відкритий. Теоретично особа у будь-якому віці, якщо вона вчинила злочин, може буде засуджена. В такому разі ця межа встановлюється умовно таким чином, щоб інтервал був рівним сусідньому з ним. В нашому прикладі величина передостаннього інтервалу дорівнювала 19 рокам (49 - 30). Відповідно, приймаємо верхню межу останнього інтервалу рівною 69 років (50 + 19), тоді середина становить 59,5 років ((69 + 50) : 2).

Після встановлення середини кожного інтервалу, за наведеною вище формулою середньої арифметичної зваженої обчислюємо середній вік 130 засуджених за злочини проти власності. Він складає 26,3 роки (3416 : 130).

При цьому слід мати на увазі, що середня величина, обчислена за даними інтервального варіаційного ряду розподілу, завжди є наближеною, тому що при її обчисленні робиться припущення про однакові розміри ознаки у кожної одиниці сукупності. Але точних даних одержати неможливо, оскільки в звітності вони наведені у такому вигляді. Звісно, що чим більше величина інтервалу і чим більше одиниць в ньому, тим більше відхилень від дійсної середньої величини можна одержати. Істотно вплинути на розмір середньої величини, обчисленої з інтервального ряду, може й довільне встановлення межі відкритих інтервалів, тому що із підрахунку можуть повністю зникнути найбільш віддаленні значення ознаки.

Середня арифметична, яка обчислюється за даними варіаційного ряду, має ряд властивостей, які мають практичне значення при її обчисленні. Найголовніші властивості такі:

Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти.

Якщо від кожного значення варіанта відняти якесь число, то середня арифметична величина зменшиться на теж саме число.

Якщо до кожного значення варіанта додати якесь число, то середня арифметична величина збільшиться на теж саме число.

Якщо кожне значення варіанта поділити на якесь число, то середня арифметична величина зменшиться на теж саме число разів. Ця властивість дає змогу значно простіше обчислити середню арифметичну величину.

Якщо кожне значення варіанта помножити на якесь число, то середня арифметична величина збільшиться на теж саме число разів.

Якщо усі частоти (ваги) поділити (або помножити) на якесь число, то середня арифметична величина від цього не зміниться. Цією властивістю часто користуються, коли частоти (ваги) мають вигляд у відсотках до підсумку.

Дуже рідко в правовій статистиці застосовуються середня гармонічна – обернена величина середньої арифметичної із обернених значень варіантів. Застосування середньої арифметичної або гармонічної залежить від первинних даних. Якщо за ваги (частоти) береться не кількість одиниць сукупності, а величини, одержані внаслідок множення значень варіантів на кількість одиниць, тобто зразу маємо добуток хѓ, то в цьому разі обчислюється середня гармонічна. У правовій статистиці, як правило, такі дані не зустрічаються або зустрічаються дуже рідко. В інших галузях статистики ця величина застосовується для обчислення середньої врожайності, середньої продуктивності праці, середнього відсотка виконання плану тощо. До цього часу статистики так і не визначилися, за якою середньою слід обчислювати середній термін будівництва. За правилами математичної статистики (мажорантності середніх величин) середня арифметична завжди більша за середню гармонічну, особливо якщо йдеться про значний розмір показника.

Для розрахунку середньої величини за формулою середньої гармонічної зваженою необхідно виходити з логічного усвідомлення вихідних величин. Наприклад, кількість оштрафованих осіб – це складова частина загальної суми штрафу. Тому щоб встановити середній розмір штрафу (розрахункова величина) ми повинні його обраховувати за формулою середньої гармонічної зваженої.

Але може обчислюватися і середня гармонічна проста за формулою:

Дана формула використовується лише тоді, коли вага кожного варіанта дорівнює одиниці. На практиці таке практично не зустрічається.

Середня гармонічна зважена обчислюється за формулою:

де: Х значення ознаки, що варіює; М=Xf результат перемноження значення варіантів на їх ваги.

Якщо ми дійсно будемо розраховувати середній розмір стягнутих штрафів тим чи іншим органом або в тій чи іншій місцевості, то знаменник дробу буде мати реальний зміст – кількість оштрафованих осіб, які сплатили штраф.

V.Актуалізація опорних знань.

VІ. Домашнє завдання.

Викладач                                                                                          В.В. Чубар